35.4. Поперечный изгиб

35.4.2. Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил

	Рис. 9.27 Схема к определению изгибающих моментов и поперечных сил.

        Из условия равновесия левой части балки имеем:


откуда


Таким образом, сила Q численно ра вна алгебраической сумме внешних сил, действующих по одну сторону от сечения. Сила Q характеризует стремление левой части балки сдвинуть правую часть вверх (или вниз) и называется поперечной, или перерезывающей силой. В более общем случае нагружения балки, если внешние силы направлены под углом к продольной оси балки, при вычислении Q берется сумма их проекций на ось у.
        Возьмем сумму моментов относительно точки К, через которую проходит сечение:


откуда


        Таким образом, изгибающий момент М в произвольном сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, приложенных по одну сторону от сечения относительно той точки продольной оси балки, через которую проходит рассматриваемое сечение. Момент М выражает стремление левой части балки повернуть правую часть вокруг центра сечения. Изгибающий момент и поперечную силу можно определить так же, рассматривая не левую, а правую часть балки. При этом метод определения Q и М сохраняется.
        Установим следующее правило для определения знаков изгибающего момента и поперечной силы: изгибающий момент будем считать положительным, если балка изгибается выпуклостью вниз; если сумма проекций внешних сил дает составляющую, направленную вертикально вверх, то Q - положительна. Для того чтобы произвести расчет балки на изгиб, необходимо знать максимальные значения М и Q, а так как они зависят от положения на балке сечения, для которого они рассчитываются, то возникает необходимость выяснения закона изменения изгибающего момента и поперечной силы по длине балки. С этой целью обычно строят так называемые эпюры М и Q.
        Ось абсцисс эпюры (графика) М проводят параллельно оси балки. Для ряда сечений вычисляют значения изгибающих моментов и откладывают их в масштабе по перпендикуляру к оси; полученные точки соединяют. При этом положительные значения М откладываются вниз от оси. Аналогично строят эпюру Q, откладывая положительные значения поперечной силы вверх по оси, а отрицательные - вниз. При расчете и построении эпюр рекомендуется придерживаться следующего порядка:

       Проиллюстрируем сказанное несколькими примерами. загруженной равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q кН/м погонной длины балки (рис. 9.28).

        Пример 1. Построим эпюры для балки на двух опорах, загруженной равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q кН/м погонной длины балки (рис. 9.28).
        Ввиду симметрии загрузки балки опорные реакции равны друг другу, а так как сумма реакций равна всей нагрузке, то

(A)

т. е. в простейших случаях опорные реакции определяются и без составления уравнений равновесия.
        По характеру загруженности балка состоит всего из одного участка, равного длине балки. В пределах этого участка проводим произвольное сечение на расстоянии z от левой опоры. Поперечная сила в этом сечении описывается формулой


        Получили уравнение прямой линии, которую можно построить по двум точкам, вычислив значения Q на границах участка:

(B)

Выбрав масштаб по этим ординатам, строим график (рис. 9.28 б), который и представляет собой эпюру поперечных сил.
        Изгибающий момент в выбранном сечении определяется по формуле


        Получили уравнение параболы и теперь придется искать местоположение максимального момента и его значение. Координату найдем, приравняв к нулю первую производную от нашего уравнения:


т. е. максимальный изгибающий момент будет на середине участка (для симметричной нагрузки это очевидно и так, но мы проделали вычисления с целью иллюстрации всего расчета).
        Подставив значение в то уравнение, которое дифференцировали, найдем величину . Найдем значения на границах участка:

при z = 0 при z = l

Выбрав масштаб по трем точкам (z = 0, z = l/2, z = l), строим эпюру (рис. 9.28 б).
        Обратим внимание на то, что в точке, где момент имеет максимальное значение, поперечная сила равна нулю. Это вытекает и из более общей дифференциальной зависимости , установленной русским инженером Д. И. Журавским. Приведенную зависимость можно использовать для проверки расчетов М и Q.
        Пример 2. Построим эпюры для консольной балки (балки с одной опорой), загруженной равномерно распределенной нагрузкой и сосредоточенной силой по схеме, изображенной на рис. 9.29.

	Рис. 9.29. Схема к примеру 2 расчета и построения эпюр М и Q.

        Для нахождения опорной реакции в опоре типа "заделка" составим три уравнения равновесия:


где ql - это равнодействующая распределенной нагрузки;


т. е. горизонтальная составляющая опорной реакции равна нулю, чего и следовало ожидать, так как при поперечном изгибе не должно быть сил, действующих вдоль оси балки;


        В соответствии с характером загруженности устанавливаем, что балка имеет два различных участка, для которых должны быть составлены аналитические выражения .
        Рассмотрим сначала построение эпюры поперечных сил.
        Для первого участка (сечение I - I) имеем:


        Для второго участка (сечение II - II) поперечная сила равна:


        Из полученных уравнений видно, что поперечная сила изменяется по закону прямой и ее эпюру легко построить по значениям Q, вычисленным в трех точках (рис. 9.29 б).
        Обратим внимание на то, что в точке z = 6, где приложена сосредоточенная нагрузка P, поперечная сила делает скачок, равный этой внешней силе.
        Произведем вычисления для построения эпюры моментов.
        Для первого участка (сечение I - I) изгибающий момент определяется равенством:


(Поскольку на данном участке изгибающий момент меняется не по линейной зависимости, то для более точного построения эпюры можно было бы вычислить значения М еще в нескольких точках в пределах например при ).
        Далее находим изгибающий момент для произвольного сечения, лежащего в пределах второго участка:


        Закон изменения изгибающего момента представляет собой параболу. Для построения эпюры М найдем местоположение максимума и его значение, продифференцировав и приравняв к нулю последнее уравнение:


т. е. изгибающий момент оказался на конце балки, противоположном заделке. Его значение нами уже найдено. Оно равно нулю. (Ясно, что 0 больше чем - 124 кНм.) Теперь строим эпюру моментов (рис. 9.29 в).
        Сопоставляя эпюры , убеждаемся, что в точке, где изгибающий момент максимальный, поперечная сила равна нулю, т. е. вычисления произведены правильно.